Write down the negations by using the rules for negation :

i) (p ∨ ~ q) ∧ r

Sol: ~ [(p ∨ ~q ) ∧ r]

≡ ~ (p ∨ ~ q) ∨ ~ r

≡ [~ p ∧ ~ (~q)] ∨ ~ r

≡ (~ p ∧ q) ∨ ~ r

ii. (p ∨ q) ∧ (q ∨ ~ r)

Sol: ~ [(p ∨ q) ∧ (q ∨ ~ r)]

≡ ~ (p ∨ q) ∨ ~ (q ∨ ~ r)

≡ (~ p ∧ ~ q) ∨ (~ q ∧ ~ (~ r)

≡ (~ p ∧ ~ q) ∨ (~ q ∧ r)

iii) (~ p ∧ ~ q) ∨ (p ∧ ~ q)

Sol: ~ [(~ p ∧ ~ q) ∨ (p ∧ ~ q)]

≡ ~ (~ p ∧ ~ q) ∧ ~ (p ∧ ~ q)

≡ (p ∨ q) ∧ (~ p ∨ q)

iv) (p∨ ~ q) ∧ r

Sol: ~ [(p ∨ ~q) ∧ r]

≡ ~ (p ∨ ~ q) ∨ ~ r

≡ (~ p ∧ q) ∨ ~ r

v) (p ∨ q) ∧ (q∨ ~ r)

Sol: ~ [(p ∨ q) ∧ (q ∨ ~ r)]

≡ ~ (p ∨ q) ∨ ~ (q ∨ ~ r)

≡ (~ p ∧ ~ q) ∨ (~ q ∧ r)

vi) p ↔ q

Sol: ~ (p ↔ q)

≡ ~ [(p → q) ∧ (q → p)]

≡ ~ (p → q) ∨ ~ (q → p)

≡ (p ∧ ~ q) ∨ (q ∧ ~ p)

vii) (p∨ ~ q) → ~ r

Sol: ~ [(p ∨ ~ q) → ~ r ]

≡ (p ∨ ~q) ∧ ~ (~ r)

≡ (p ∨ ~ q) ∧ r

viii) (p ∧ q) → (~ p ∨ r)

Sol: ~ [(p ∧ q) → (~ p ∨ r)]

≡ (p ∧ q) ∧ ~ (~ p ∨ r)

≡ (p ∧ q) ∧ (p ∧ ~ r)